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域为什么一定是整环
因为是有限个元素,所以每个元素都能找到独一的逆,再按照域的界说,得证。留心乘法中的·经常被省略,所以 a·b 可简写为 ab。 乘法是比加法优先的运算,所以 a bc 其实是 a (b·c)。
在环的界说中,对于乘法单元(1)的存在并没有做明确的请求。假如一个环R对于乘法有单元元存在(称幺元素或幺元或单元元,记作‘1’),则这个环称为含幺环或含单元元环。
假如含单元元环R往失踪关于加法的单元元0后,对于乘法形成一个群(一般来说环R对乘法形成半群),那么这个环就称为除环。除环不必定是交换环,好比四元数环。交换的除环就是域。
一般环的理想的界说:环的子集,且知足前提:(1)对加法封锁;(2)理想中的元素乘以环中的元素都在这个理想中。
域是无零因子环吗
两个特点。1、无零因子环的特点要么是零,要么是素数。2、假如无零因子环的特点是零,则该环是特点为零的域。
一个环$R$假如没有非零的因子零因子,即对于肆意的$a,b \in R$,假如$ab=0$,则$a=0$或$b=0$。这样的环叫做无零因子环(也叫做整环)。无零因子环的特点有如下两个:1、无零因子环的特点要么是零,要么是素数。证实如下:假设无零因子环的特点为$n$,且$n$不是零或素数。则$n$可以写成$n=rs$的情势,其中$r,s$均为正整数,$r,s \neq 1,n$。那么对于肆意的$a \in R$,有$a a \cdots a$($r$个$a$相加)$=0$,也就是$ra=0$。是以,无零因子环的特点要么是零,要么是素数。2、假如无零因子环的特点是零,则该环是特点为零的域。证实如下:假设无零因子环$R$的特点为零。因为$R$没有零因子,则$R$是一个整环。对于肆意的$a \in R$,因为特点为零,所以$1 1 \cdots 1$($n$个$1$相加)$ \neq 0$。是以,$R$中的每个非零元素都有乘法逆元,即$R$是一个域。